热点资讯
管理系统开发公司 一个简便的概率几何问题，竟与黎曼函数有着出东说念主预感的关联
发布日期：2024-09-07 05:12 点击次数：66
图片管理系统开发公司
黎曼ζ函数在数论中占有垂危地位，揭示了好多深入的数学欢乐。一个山外有山的问题是，它与一个看似简便的几何问题有着出东说念主预感的关联：假定你站在一个无限的网格平面上。你不错朝系数地点无限远地看去，但你不可透视网格点：若是某个网格点位于你的视野中，则该点被遮蔽。你能看到若干比例的网格点呢？这是一个特地原理的问题，它不依赖于肇始位置。我需要稍许解释一下这个问题，因为你不错看到无限多的点，也有无限多的点你看不到，那咱们若何交融它们的比例呢？以及咱们盘问的“网格”是什么真谛呢？对于网格，不错假定它们指的是整数点。这些点（x, y）位于平面上，其中x和y齐是整数，不错（不失一般性）假定咱们站在坐标系的原点（0,0）。解释这个问题的最简便方式是举一个例子。是以假定你站在一个无限的网格上，并将你的位置设为原点（0, 0）。然后很明显，点（9, 4）从原点可见，莫得其他点挡住视野。图片
另一方面，点（6, 2）是不可见的，因为点（3, 1）“挡在了路上”。图片
若是你仔细念念念念，你会发现这是因为这两个点齐位于穿过（0, 0）的一条线上。因此，其中一个点必须是另一个点的（标量）倍数。换句话说：这两个坐标必须有大于1的全球因子。也等于说，若是两个坐标的最大协议数大于1，那么该点从原点不可见。在数学术语中，咱们写稿gcd(x, y) > 1。这个小分析使咱们好像稍许转机一下问题。让咱们在原点周围画一个边长为2r的正方形，并计较正方形内可见的点数。然后将这个数量除以正方形内的总点数，获得每个这么的数r的函数CP(r)。图片
咱们不错了了地界说C(r) = 正方形内互质数对的数量 / 正方形内的总点数。现时的问题是，跟着r趋近于无尽大，CP(r)的极限是若干？让咱们创建一些Python代码来处理这个问题。from tqdm import tqdmimport matplotlib.pyplot as pltdef is_coprime(x, y): x, y = abs(x), abs(y) for i in range(2, max(x, y) + 1): if x % i == 0 and y % i == 0: return False return Truedef CP(r): visible = 0 for x in range(-r, r): for y in range(-r, r): if is_coprime(x, y): visible += 1 return visible / (2*r)**2r = 1000print(f"\nThe fraction of visible points with r = {r} is about: {round(CP(r), 5)}\n")print("Tracking convergence...")history = []for i in tqdm(range(1, 300)): history.append(CP(i))plt.plot(range(1, len(history)+1), history)plt.show()若是运行这段代码，你会看到两个输出。最初，它会print：r = 1000时，可见点的比例约为：0.60798其次，会获得一个经管图的图像：
图片
是以不管这个数字是若干，它齐接近于0.6079。这个数字是对上述问题的一个近似谜底，即当咱们站在原点时，咱们不错看到约60.79%的点。通过稍许修改代码，不错获得一个象限内可见点的图：图片
戒备，在垂直线上的点越多，相应的数字就越“质数”，点越少就越是合数。你能凭据这幅图找出1到100之间的孪生素数吗？概率次序让咱们从概率的角度来谈判这个问题。咱们需要计较当r特地大时选择一个可见点的概率。咱们该若何计较呢？就地选择一个可见点或等效地选择一个互质对P = (x, y)的概率与莫得任何素数同期整除x和y的概率相易。在这种情况下，实质上更容易计较这个事件的互补事件，即咱们选择的点不可见的概率是若干？要使这种情况发生，咱们需要一个质数同期整除x和y。质数p整除x的概率是1/p，因为在数轴上每隔p个数就有一个数能被p整除，质数p整除y的概率亦然1/p。若是咱们以为这些事件是独处的，那么p同期整除x和y的概率等于1/p²。不同期整除x和y的概率是1-1/p²。由于这需要对系数素数齐成立，因此莫得任何素数同期整除x和y，因此点（x, y）可见的概率由乘积给出：图片
小程序开发这不错用更紧凑的符号写成：图片
西班牙vs法国的半决赛中，上半场第9分钟，姆巴佩吸引吸收后传中，穆阿尼后点包抄头球破门，管理系统开发公司法国队取得本届杯赛的第一个运动战进球。第21分钟，亚马尔一记漂亮的世界波帮助西班牙扳平比分，他以16岁362天的年龄，成为欧洲杯历史上最年轻的进球者。4分钟后，奥尔默在禁区内大力抽射破门，西班牙2-1逆转，并且将比分保持到终场，挺进决赛。
比赛开始后，中国队相较于前两场季前赛进入状态更快，但马刺依然凭借更强的天赋占据主动，第一节中国队20-29落后。第二节，廖三宁连续得分，帮助中国队单节净胜6分。第三节，中国队进攻短路，单节只得到7分，马刺趁机拉开分差。第四节，马刺依然牢牢掌握主动，最终，中国男篮67-89不敌马刺。
当伸开这个乘积时，咱们获得了一些形如1/m²的数的总额，但不是系数这么的数。具体来说，咱们获得一系列上述方式的数字，其中m是无平时因子的，意味着莫得任何平时数不错整除m。等效地，m的质因数见地仅由不同的质数构成。此外，这些数字的符号（正或负）由m的质因数的数量决定：若是m的质因数数量是奇数，那么这个数字等于负数；若是质因数数量是偶数，则这个数字是正数。这个函数被称为默比乌斯函数，用μ暗示。从上头咱们不错看到：图片
是以这个序列运转于图片
若是取这6个数字并将它们相加，将获得梗概0.606。但这个突出的数字到底是什么？咱们能找到一个阻滞方式吗？恰好，这个抒发式恰恰等于1/ζ(2)，其中ζ是黎曼ζ函数。运道的是，欧拉阐明了ζ(2) = π²/6。概括这些信息，咱们获得可见点的比例着实地为图片
黎曼ζ函数界说为图片
当s > 1时，这个函数由欧拉在17世纪粗造筹谋过。黎曼在一个世纪后筹谋了这个函数（黎曼ζ函数），但他是把它动作复数变量的函数来筹谋的，这么的筹谋揭示了这个函数的确实魔力和弘远之处。欧拉找到了ζ函数的一个秀雅的乘积公式，这基本上是算术基本定理的一个版块。他发现图片
当s > 1时，若是咱们将欧拉找到的ζ函数的乘积方式取倒数，并将s设定为2，就获得了1/ζ(2)的着实乘积抒发式。若是咱们在三维空间中建议相易的问题会若何？通过通常的论证，不错泄露，在三维网格中可见点的比例是1/ζ(3)。这个常数是数学中最深邃的数字之一！莫得东说念主能找到它的阻滞方式抒发，谁若是找到了，将会寰宇盛名。 本站仅提供存储就业，系数内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。