联系我们 以“垂径定理”为布景的“一题多变”问题

发布日期：2024-11-02 13:26    点击次数：98

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与圆相干的轮廓题主要有以下几种分类：

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1. 德岛漩涡位于日本德岛县鸣门市，成立于1955年，历史上获得1次日职乙冠军（2020赛季）。

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现以垂径定理的基本图形为布景图形，通过添加条目设想不同层级的几何轮廓题。下图所示所以“垂径定理”为布景地母题：

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常见的解题旅途和补助线的添线设施如下图所示：

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如上图所示是垂径定理的基本图形，常见的补助线的添线设施即是连半径和作弦心距，构造含半径、半弦和弦心距为边的直角三角形，通过哄骗图中的直角三角形哄骗勾股定理概况锐角三角比设立边之间的数目关系。

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基本图形中基本元素的求解

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设想意图：基础问题1-4主要触及到哄骗垂径定理求线段长度、某个角的锐角三角比、三角形面积和平行弦之间的距离。所有问题搞定的基础齐源自图1的基本图形，通过在Rt△AOD中哄骗勾股定理求解AD、OD的长度，就不错求出上图中所有线段的长度以及所有角的锐角三角比。

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基础问题1-5涵盖了垂径定理中与几何贪图相干的所有问题，同期为后续问题的搞定提供了基础数据。

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作平行线构造平行型基本图形

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设想意图：问题6和问题7内容上是同类问题。期中问题6呈现了典型的“燕尾三角形”基本图形，因此需要通过添加平行型构造A/X型基本图形，从而求出第三组线段间的比例关系。问题8则触及到通过构造直角三角形求线段长度。关于问题6继承如下的解题旅途：

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除了不错过点E作CD的平行线外，不错过图中的A、B、C、D、E、F中的苟且少许作平行线，况且齐有两种作念法。临了问题齐是化归为求DF:CF。

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如上图所示，并非所有添平行线的设施齐是便捷的，因此在添加平行线的时分需要选拔得当的极点，否则会使得贪图变得复杂。而上述问题临了齐不错使用梅氏三角形进行搞定：

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关于问题7不错继承交流的解题旅途，这里提供以下三种：

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同期问题7与2020上海中考25题第3问的布景相仿：

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     关于问题8则不可选择交流的设施进行搞定，由于BE是圆中的一条弦，因此不错通过构造垂径定理基本图形，即过点O作BE的垂线，同期再“构造倍角三角形”进行求解。

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稀零三角形和梯形的存在性问题

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关于稀零三角形和梯形的存在性问题需要分类规划，尤其是等腰三角形直角三角形和梯形的存在性问题，通常需要贪图某些角的角度，哄骗稀零角(30°、45°、36°)的性质进行求解。

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通常三角形的存在性问题

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等边/等腰直角三角形的存在性问题

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直角/等腰三角形的存在性问题

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梯形的存在性问题

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与垂径定理相干的轮廓题

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解法分析：本题的第①问是稀零位置，易知∠AFE=30°；本题的第②问是求线段间的比例关系，不错通过添加平行型构造基本图形；本题的第③问是梯形的存在性问题，长沙开发管理系统的公司需要通过求出图中某些角的角度，哄骗稀零角的性质求得线段的长度。

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解法分析：2022宝山二模25题的布景是圆与比例线段。

第一问磨砺了比例线段的解释。出现了线段间的倍半关系，联思到中点。字据AF:DF联思构造X或A型基本图形，因此有以下三种设施构造基本图形，助力问题搞定。第二问磨砺了求∠ABC的正弦值。由题意可知△AOF∽△AOD，通过角的关系可知∠OAD=∠D=∠AFO；字据AC//OD，可知，∠CAF=∠D，由此不错获取AF是∠CAB的瓜分线。继而过点F作AB的垂线，得AO=2AH，即AB=4AC，求得sin∠ABC。第三问磨砺了直角三角形的存在性和面积比。由题意需要分类规划，即∠AOF=90°或∠AFO=90°。值得留神的是所求的两个三角形的高存在着倍半关系，因此三角形的面积比就调度成了求EF:BF，字据F不同的位置关系，找到线段间的比例关系。

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解法分析：本题的第(1)问径直可得CO=2OH，即∠AOC=60°。本题的第(2)问是圆布景下求线段的比值。主要哄骗了CE:EF=4:3以及AH=OH这些数目关系，添加平行线，构造A/X型基本图形，两次哄骗基本图形，从而求出线段的比值。本题的第(3)问是梯形的存在性问题，需要分类规划，即CO//AF或AC//OF，通过“导角”以及“同圆半径极端”、“等腰三角形性质”和“平行线性质”获取边之间的数目关系。这在梯形的存在性中亦然相比常见的。

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